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波动方程让我们对水波、声波、光波和弹性振动有了更深入的理解 。 地震学家利用波动方程推断出地球内部的结构 。 石油公司也用类似的方法寻找石油 。 物理学家用它预测电磁波的存在的 ， 从而导致无线电、电视、雷达和现代通信的出现 。
我们生活在一个波的世界里 。 我们的耳朵能探测到空气中的压缩波：我们称之为“听觉” 。 我们的眼睛能探测到电磁波：我们称之为“视觉” 。 当一艘船在海上上下颠簸时 ， 它是对水中的波浪所作出的反应 。 冲浪者利用海浪来娱乐；收音机、电视和移动电话使用的是电磁波 。 微波炉……名字就已经说明了一切 。
几个世纪以前 ， 数学家就开始思考“波”了 ， 他们首先研究的是音乐 ， 特别是小提琴 ， 小提琴的弦是如何发声的？
一根小提琴的弦可以被合理地假设成一条无限细的线 ， 它的振动发生在一个平面上 。 这样的假设起到了降维的作用 ， 从而使得问题变得简单 。 一旦我们理解了简单的波的原理 ， 就可以把这种理解推广到现实中的波 。 如果没有一些数学家思考小提琴的发声原理 ， 就不会有今天的电子世界和全球通信 。
毕达哥拉斯学派与音乐毕达哥拉斯学派认为世界是基于数字的 ， 他们认为的数字是指整数或整数之间的比 。
毕达哥拉斯一些重要的世界观来自音乐 。 有一个故事说 ， 毕达哥拉斯路过一家铁匠铺 ， 他注意到不同大小的锤子发出不同音调的声音 ， 用简单的数字联系起来的锤子（比如一个锤子的大小是另一个的两倍）碰撞发出的声音是和谐的 。
毕达哥拉斯使用一根可拉伸的弦进行一系列实验 。 托勒密在公元150年左右的《和声（Harmonics）》中提到了这些实验 。 通过将支撑物沿弦移动到不同的位置 ， 毕达哥拉斯发现 ， 当两根张力相等的弦的长度呈简单的比例时（如2:1或3:2） ， 它们就能发出和谐的声音 ， 而复杂的比例则是不和谐的 。
一点点乐理音乐家们根据音符之间的音程来描述一对音符 。 最基本的音程是八度 。 在小提琴上 ， 在一个开放的弦上演奏一个八度以上的音符的方法是在指板上按弦的中间 。 所以八度音符与一个简单的2:1的数值比有关 。
其他和谐的音符也与简单的数字比率有关 。 西方音乐中最重要的是4:3的比例和3:2的比例 。 如果考虑整个音符的音阶 ， 这些名字就说得通了 ， 比如C、D、E、F、G、A、B、C 。 以C为基准 ， 第四度对应的音是F ， 第五度对应的音是G ， 八度是C 。
这些比例为音乐音阶提供了理论基础 ， 并发展成了现在大多数西方音乐中使用的音阶 。 为了以后方便 ， 我将把3:2写成分数3/2 。 从一个基本音开始 ， 升到五度 ， 得到一串长度的音
计算得出
所有这些音符 ， 除了前两个 ， 都太高了 ， 不能保持在一个八度内 ， 但我们可以把它们降低一个或多个八度 ， 重复地把分数除以2 ， 直到结果在1和2之间 。 这就得到了分数
